几何布朗运动（GBM）是期权定价模型的核心假设，而算术布朗运动（ABM）因违背资产价格非负性原则，仅适用于特定场景。两者在随机过程建模、数学推导及市场适用性上存在显著差异，GBM通过保证价格正数性和对数正态分布特性，成为布莱克-斯科尔斯（BS）模型的理论基础。

一、几何布朗运动（GBM）与期权定价模型


模型定义与特性
GBM描述资产价格动态为：
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t

其中，S_t为资产价格，\mu为预期收益率，\sigma为波动率，W_t为标准布朗运动。GBM的关键特征是：

对数正态分布：资产价格始终为正，符合现实需求；
均值回归：长期价格增长与波动率分离，便于参数估计。



在BS模型中的应用
布莱克-斯科尔斯模型假设标的资产价格服从GBM，通过构建无风险对冲组合，推导出欧式期权定价公式：
C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

其中，d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}，d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}。GBM的对数正态分布特性确保了BS模型的数学严谨性与市场适用性。


优势与局限性

优势：保证价格非负性，便于数学推导与蒙特卡洛模拟；
局限：假设波动率恒定、无跳跃风险，与实际市场波动（如“黑天鹅事件”）存在偏差。




二、算术布朗运动（ABM）与期权定价模型


模型定义与特性
ABM描述资产价格动态为：
dS_t = \mu dt + \sigma dW_t

其关键特征是：

绝对收益：价格变化与当前价格无关，可能导致负数价格；
正态分布：收益率服从均值为\mu、方差为\sigma^2的正态分布。



在期权定价中的局限性

违背现实假设：ABM允许负数价格，与资产价格非负性原则冲突；
数学处理复杂：无法直接应用BS模型的对数正态分布特性，需通过调整参数（如引入跳跃扩散）间接适用。



特殊场景应用
ABM在以下场景中可能适用：

商品期货：如原油、黄金等实物资产，价格波动更接近绝对收益模型；
短期定价：当时间跨度较短时，负数价格概率极低，ABM可近似替代GBM。




三、两者的对比与选择逻辑


维度
GBM（几何布朗运动）
ABM（算术布朗运动）




价格约束
保证非负性
允许负数价格


收益率分布
对数正态分布
正态分布


波动率敏感性
波动率与价格成正比（相对波动）
波动率与价格无关（绝对波动）


数学复杂性
便于对冲组合构建与蒙特卡洛模拟
需复杂调整（如跳跃扩散模型）


市场适用性
适用于股票、外汇等金融衍生品
适用于商品期货、短期利率衍生品


选择逻辑：

长期/复杂衍生品：优先选择GBM（如股票期权、外汇期权）；
短期/简单衍生品：可考虑ABM（如商品期货期权、短期利率期权）。


四、实际应用中的挑战与改进方向

波动率估计：GBM假设波动率恒定，而实际市场波动率呈现“波动性微笑”特征，需引入随机波动率模型（如Heston模型）。
跳跃风险：ABM无法捕捉极端事件，需结合跳跃扩散模型（如Merton模型）。
测度变换：通过风险中性测度（Q测度）将GBM从真实世界（P测度）转换为定价框架，确保无套利定价。